25. 容斥问题

    【题型特征】

    容斥原理的集合描述:

    1.

    2.

    【经典例题】

    1.对某单位的100名员工进行调查，结果发现他们喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，则只喜欢看电影的有：

    A．22人 B．28人 C．30人 D．36人 （2005年国家A类行测真题）

    正确答案【A】

    解法1：设A＝喜欢看球赛的人（58），B＝喜欢看戏剧的人（38），C＝喜欢看电影的人（52），则有：

    A∩B＝既喜欢看球赛的人又喜欢看戏剧的人（18）

    B∩C＝既喜欢看电影又喜欢看戏剧的人（16）

    A∩B∩C＝三种都喜欢看的人（12）

    A∪B∪C＝看球赛和电影、戏剧至少喜欢一种（100）

    根据公式：A＋B＋C＝A∪B∪C＋A∩B＋B∩C＋C∩A－A∩B∩C

    C∩A＝A＋B＋C－（A∪B∪C＋A∩B＋B∩C－A∩B∩C）

    ＝148－（100＋18＋16－12）＝26

    所以，只喜欢看电影的人＝C－B∩C－C∩A＋A∩B∩C

    ＝52－16－26＋12＝22

    26.抽屉原理

    【题型特征】

    我们先来看一个例子，如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。

    抽屉原理1：将多于n件物品任意放到n个抽屉中，那么知道有一个抽屉中的物品件数不少于2个。

    抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。

    【经典例题】

    1. 一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

    解析：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。

    2．在一个口袋中有10个黑球、6个白球、4个红球，至少从中取出多少个球才能保证其中有白球？

    A．14 B．15 C．17 D．18

    解析：抽屉原理，最坏的情况是10个黑球和4个白球都拿出来了，最后第15次拿到的肯定是白球。

    27. 排列组合问题

    【题型特征】

    加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

    N=m1+m2+…+mn

    种不同方法。

    再看下面一道例题：

    问题2：由A村去B村的道路有3条，由B村去C村的道路有2条．从A村经B村去C村，共有多少种不同的走法？

    乘法原理：做一件事，完成它可以有n个步骤，在第一个步骤中有m1种不同的方法，在第二个步骤中有m2种不同的方法，……，在第n个步骤中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：

    N=m1×m2×…×mn

    种不同的方法。

    排列

    从n个不同元素中，任取m( )个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列

    1. 什么叫不同的排列？//**元素和顺序至少有一个不同.//

    2. 什么叫相同的排列？//**元素和顺序都相同的排列.//

    排列数

    从n个不同元素中，任取m( )个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号 表示. 其中 =n（n-1）（n-2）…（n-m+1）

    例题：由数字1、2、3、4可以组成多少个无重复数字的三位数？

    组合

    从n个不同元素种取出m（ ）个元素拼成一组，称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合

    组合数

    从n个不同元素中，任取m( )个元素的所有组合的个数叫做从n个元素中取出m元素的组合数，用符号 表示. 其中 = n（n-1）（n-2）…（n-m+1）/m!

    组合数性质：

    二项式定理基础知识：

    【经典例题】

    1：某铁路线上有25个大小车站，那么应该为这条路线准备多少种不同的车票( )。

    A．625 B．600 C．300 D．450

    解析：此题的关键是要分清到底属于排列问题还是组合问题，此题要问有多少种不同的车票，在这里从甲地到乙地和从乙地到甲地（即往返票）是要准备两种车票的，故属于排列问题，即 =600种。相对应的我们看下面这道题

    2：从6名男生，5名女生中任选4人参加竞赛，要求男女至少各1名，有多少种不同选法？

    A．240 B.310 C.720 D.1080

    解析；此题中正面考虑情况比较多，采用间接法，至少1名的反面就是分别只选男生或者女生，故共有 =310种

    3．6个人站成一排，要求甲、乙必须相邻，那么有多少种不同的排法？

    A．280 B.120 C.240 D.360

    解析：将甲、乙“捆绑”在一起，看做是一个人参与排列，注意甲乙本身的顺序（即甲在乙的左边还是右边），那么共有： =240种。

    4.将10台电脑分配给5个村，每村至少一台，那么有所少中不同的分配方法？

    A．126 B.320 C.3024 D.1024

    解析：10台电脑并成一排，内部形成9个孔空，任意在这9个空中插入4个板，那么就把着10台电脑分成了5部分，每一种插法就对应一种分配方法，故有 =126种方法

    28. 简单概率问题

    【题型概述】

    1. 随机事件基本概念

    随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；

    必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

    不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件

    1.古典概型中，概率的定义：

    P（A）=

　　【经典例题】

    1.将一个硬币掷两次，恰好有一次正面朝上且有一次反面朝上的概率是多少?( )。 （07浙江B） （07浙江B类）

    A. 1／2 B. 1／3 C. 1／4 D. 2／3

    解析：硬币投掷两次一共可能的情况有：（正，正）（正，反）（反，正）（反，正），那么有一次为正且有一次为反的概率为2÷4= ,选A。

    2.有一个摆地摊的摊主，他拿出3个白球，3个黑球，放在一个袋子里，让人们摸球中奖。只需2元就可以从袋子里摸3个球，如果摸到的3个球都是黑球，可得10元回扣，那么中奖率是多少？如果一天有300人摸奖，摊主能骗走多少元? （05山东行测）

    A. B. C. ,420 D.

    解析：把3次都摸到黑球看作事件A，那么试验的结果总数为从6个球中任取3个球的取法共 种，有利于A的结果总数为1种，故所求中奖率为：

    =

    摊主骗走的钱为：300×2-300× ×10=450元，选B。

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